Teoría

Funciones 

Una función es una relación donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y solo un elemento del conjunto de llegada.

En funciones, al conjunto de partida se le llama Dominio y a los elementos del conjunto de llegada se le llama Imagen; se puede inferir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

Para determinar si una relación es función, hay que observar en el diagrama de Venn, que todos los elementos del dominio estén relacionados con algún elemento del rango, pero solo con uno. 

Nota: Hay dos casos donde la relación no es función: Cuando un solo elemento del dominio no esté relacionado con alguno del rango o si algún elemento del dominio está relacionado con más de un elemento del rango.

Elementos de una función

En toda función se encuentran tres (3) elementos

Ø Dominio: son los elementos del conjunto de partida; es decir los elementos de X, que corresponden a la variable independiente (los elementos del dominio se ubican en el eje X del plano cartesiano)

Ø Imagen: son los elementos del conjunto de llegada; es decir los elementos de Y, que corresponden a la variable independiente (los elementos del dominio se ubican en el eje Y del plano cartesiano)

Ø Regla o condición: se considera a la forma en que se relacionan los elementos de X con los elementos de Y.

Cada función tiene una regla que relaciona las dos variables, se debe tener presente que a cada elemento de X le corresponde solo un elemento de Y.

Existen 4 formas de definir una función;

1.    Descriptiva: Es la descripción verbal del fenómeno que se estudia, en esta se detallan las condiciones en que ocurren los hechos

2.    Numérica: Consiste en hacer una tabla de valores con los datos obtenidos del fenómeno al hacer las mediciones correspondientes.

3.    Gráfica: Por medio de una representación gráfica, ubicando pares ordenados en el plano cartesiano, se puede observar la forma de la curva que muestra la función dada.

4.    Analítica: También es llamada Matemática, es aquella que por medio de un modelo matemático se  describe el fenómeno.

Funciones de Valor Real:

Nos indica que los elementos  del dominio e imagen son números reales, por esto las funciones de valor real se describen de la siguiente manera:

El rango es el conjunto que conforma el codominio de la relación y la imagen son los elementos del rango que interactúan con los elementos del dominio

Las funciones según el tipo de relación:

En las funciones hay una interacción entre los elementos del dominio y rango. De acuerdo al tipo de interacción existen tres clases de funciones.

Función Inyectiva: También llamada Función Uno a Uno, aquellas donde los elementos del  rango que son imagen de algún elemento del dominio, solo lo hacen una  vez.  Las  funciones crecientes y decrecientes son inyectivas.

Función Sobreyectiva: donde “Todos los elementos del rango” son al menos imagen de uno o varios elementos del dominio. Lo anterior quiere decir que todos los elementos del rango se relacionan con algún o algunos elementos del dominio.

Función Biyectiva: Una función es Biyectiva si, solo si, es inyectiva y Sobreyectiva.

Simetría de las funciones

La simetría es el comportamiento de la curva respecto a los ejes coordenados. Una curva es simétrica respecto al eje y, si la parte derecha es la imagen especular de la parte izquierda, será simétrica respecto a x si la parte superior es la imagen especular de la parte inferior. La simetría de las funciones está relacionado con el concepto de función par e impar.

Función Par: Una función f (x) es par si para todo x en su dominio:  

f (- x) = f (x). Este tipo de  funciones son simétricas respecto al eje y el ejemplo típico son las funciones cuadráticas.

Ejemplo

Sea la función f (x) = x 2 + 2, mostrar que es par.

Solución.

Lo que se debe hacer es cambiar x por – x en la función:

 f ( - x ) = ( - x ) 2 + 2 = x 2 + 2 Como f (- x)  = f (x), entonces la función dada es par.

Función Impar: Una función f (x) es impar si para todo x en su dominio: f (- x) = - f (x). Este tipo de funciones son simétricas respecto al origen de coordenadas. El ejemplo típico son las funciones cúbicas.

Ejemplo

Dada la función f (x) = x 3 – 2x, determinar si es impar.

Solución.

Se debe reemplazar  a x por – x y observar la función obtenida.

f ( - x ) =  ( - x ) 3 – 2 (- x ) = - x 3 + 2 x = - ( x 3 – 2x )

Como se puede ver f (- x) = - f (x), Luego la función es impar, así será simétrica respecto al origen de coordenadas.

Monotonía de las funciones:

Una función se considera monótona si es creciente o decreciente.

Función Creciente: Intuitivamente una función es creciente si a medida que aumenta la variable x, también aumenta la variable y.

Función Decreciente: Intuitivamente una función es decreciente si a medida que aumenta la variable x, la variable y disminuye.

Algebra de funciones

Las funciones también  se pueden operar algebraicamente.

Suma: La suma de dos o más funciones origina otra función, cuyo dominio serán los elementos comunes  a las funciones que participaron en la operación.

Sean las funciones. f ( x ), g ( x ),  h ( x )  entonces: 

s ( x )  =  f ( x ) + g ( x ) + h ( x )

La  suma  de  funciones  cumple  con  las leyes básicas propias  de  la  suma,  como la conmutativa, clausurativa, asociativa y otras.

Resta: Al igual que en la suma, la resta de dos o más funciones, origina otra función. El dominio de la función resultante son los elementos comunes a las funciones que fueron operadas.

Sean f ( x ) y g ( x ) dos funciones, luego:

 r ( x )  =  f ( x ) – g ( x ) Es pertinente recordar que la resta no es conmutativa.

Producto: Cuando se multiplican dos o más funciones, se produce otra función, la función resultante tiene como dominio los elementos comunes de las funciones multiplicadas.

Sea  f ( x ), g ( x ) y h ( x ), funciones , entonces: p ( x )  =  f ( x ) * g ( x ) * h ( x )

Cociente: Dividir funciones es equivalente a dividir polinomios, solo que para poder realizarla, el denominador debe ser diferente de cero.

El dominio de f (x) serán todos los valores de x, excepto aquellos que hagan d (x) = 0

Funciones especiales

Se consideran a las funciones cuyo modelo matemático no tiene  un patrón definido, más bien son  muy particulares.

1.    Función Constante:

Sea

f (x) = b

Siendo b una constante.     Esta función indica que para todo valor de x, su imagen siempre será b. 

 La función constante es lineal.

Su dominio son todos los reales y su imagen un único valor b; quizás esto es lo que la hace ver especial.  Es una función par, ya que f (-x )  =  f ( x ), luego es simétrica respecto al eje y.

La función que se presenta en la gráfica muestra que el dominio es cualquier real y la imagen para este caso es y = 3.

Esta función no es creciente, tampoco decreciente, por lo cual no se considera monótona.

1.  Función idéntica

Se le llama idéntica ya que para cualquier valor del dominio, su imagen es precisamente el mismo valor.

Sea f (x) = x.

 Esta función también es lineal,  solo que  el valor del dominio e imagen es  el mismo, aquí es donde se le da la connotación de especial.

 La notación.

Esta función es impar, ya que se cumple f (-x)  =  - f (x).

1.     Función Valor Absoluto

Esta función cumple con los principios del valor absoluto.   Sea

f ( x ) =  x

El dominio son  todos los reales, ya que el valor absoluto se aplica a cualquier valor real. La imagen son los reales no negativos, debido a que el valor absoluto por definición siempre será positivo o a lo más cero.        

La notación 

 Esta función es par ya que  f (- x )  =  f ( x ),   por lo cual es simétrica respecto al eje y.

1.    Función Parte Entera

 Es una función muy especial ya que presenta una discontinuidad notoria. Algunos la llaman función escalonada, en la gráfica se verá porque.

Sea

f  ( x ) =[X]

Cuyo significado es el valor máximo entero menor o igual que x, más  común parte  entera.

 

Por  ejemplo

 f (x) =[0 , 2]

Explícitamente:

Para -1 ≤ x < 0, su imagen es -1 Para   0 ≤ x < 1, su imagen será 0

0 ,  ya  que  0,2  es  mayor  menor  o  igual  que  0.   Más

Para   1 ≤ x < 2, su imagen es 1.  Así sucesivamente.

Funciones Algebraicas.

Las  funciones  algebraicas  se  caracterizan  porque      la  ecuación  que  la  describe  son  polinomios, haciendo que éstas tengan los principios y características que tienen éstos.

1.    Función Lineal

Su nombre es dado por la gráfica que la representa, la cual es una línea recta no vertical, además su ecuación es de primer grado.

El dominio de la función lineal son todos los reales al igual que la imagen.

La pendiente puede ser negativa, positiva o cero.

Cuando m = 0, la recta es horizontal, así la función no tiene monotonía, tampoco simetría.

Cuando m > 0 la recta es inclinada hacia la derecha, en este caso la función es creciente.

 Cuando m < 0 la recta es inclinada hacia la izquierda, siendo decreciente para este caso.

El intercepto es el punto donde la recta corta al eje y.

2.    Función Cuadrática

Su nombre es dado por el tipo de polinomio que la describe, un polinomio de segundo grado.

El dominio está dentro de los reales al igual que la imagen.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola, que consta de dos ramales que se unen en un punto llamado vértice; además, una recta que pasa por el  vértice llamada eje de simetría, el cual  divide la curva en dos partes iguales. Para que una parábola corresponda a una función, el eje de simetría debe ser siempre vertical.

1.    Función Cúbica

Su nombre es dado por el tipo de polinomio que la describe, un polinomio de tercer grado.

El dominio y la imagen están en los reales 

Cuando b = c = d = 0,        se obtiene la función característica

1.    Función Polinómica

Son aquellas cuya regla está dada por el polinomio que la define, por lo tanto el grado de la función será el grado del polinomio.

Para estas funciones el dominio y su imagen  están en los reales; es decir:

Las funciones lineales, cuadráticas y cúbicas son polinómicas, solo que éstas se estudiaron por separado, debido a su importancia y características.

1.    Función Racional

El cociente de dos número enteros origina una número racional, análogamente, el cociente de dos polinomios originan las funciones racionales.

El dominio de la funciones racionales son todos los reales excepto aquellos que hagan a q(x) = 0. Respecto a la imagen, depende del tipo de función, ya que cada una tiene sus particularidades, al  igual que la monotonía y simetría. La gráfica es una función racional se puede hacer identificando las características descritas, pero además el límite hasta dónde puede llegar la curva según las restricciones del dominio y la imagen. Los límites de las curvas se pueden identificar por medio de las llamadas Asíntotas.

2.    Función Radical

Cuando el polinomio que describe la función está dentro de un radical,  se le llama función radical.

Sea  f (x) = n  p(x), para n ≥ 2  y  n є Z+ Se dice que es una función radical.

El dominio de este tipo de funciones son los reales; según los siguientes casos:

Para n = Par: p(x) ≥ 0.  La imagen son los reales positivos.

Estas funciones por lo general son monótonas y no simétricas.

Para n = Impar: p(x) puede ser positivo o negativo. La imagen también puede ser positiva o negativa.

Funciones Transcendentales

Se consideran a las funciones cuyo modelo matemático son expresiones con exponenciales, logarítmicas,  expresiones trigonométricas o combinaciones de estas.

Función  Exponencial Base a

Son aquellas cuya base es un número real positivo y el exponente la variable independiente.

Sea f (x) = a x , para a > 0 y a ≠ 1.

Dominio: Es el conjunto de los reales, ya que la variable x puede tomar cualquier valor real en el modelo  matemático que la representa.

Imagen: Esta en el conjunto de los reales positivos, debido a que para cualquier valor de x, la función no toma valores negativos.

La relación 

             

 El Intercepto: Esta función corta al eje y en el valor y = 1. La explicación es que para x = 0, la imagen siempre es y = 1.

Monotonía.  La función exponencial  es  monótona.  Si  a  >  0   la  función  es  creciente, pero si 0 <  a < 1, la función es decreciente.

Simetría: Este tipo de función no presenta ningún tipo de simetría.

Asíntotas: Las funciones exponenciales tienen una asíntota horizontal en y = 0.

Función  Exponencial Decimal

Es aquella  función cuya base es 10, de allí su nombre.

La función exponencial decimal tiene las propiedades de una función exponencial de base a.

Función  Exponencial Natural

Es aquella  función cuya base en el número de Euler, representado por la letra e.

FUNCIÓN LOGARITMICA

El logaritmo es una operación inversa a la potenciación, análogamente la función logarítmica es inversa a la función exponencial. Los principios, leyes y propiedades de los logaritmos son aplicables a este tipo de función.

Función Logarítmica Base a:

 Lo que diferencia a las funciones logarítmicas es la base, así se verán algunas funciones logarítmicas muy particulares.

 Al igual que la función exponencial, la función logarítmica tiene algunas propiedades.

El Dominio: Para las funciones logarítmicas, el dominio son todos los reales positivos, ya que el logaritmo de reales negativos no existen.

La Imagen: La imagen de la función logarítmica son todos los reales:

 R +   ® R

La Monotonía: La función logarítmica es creciente para a > 1 y decreciente para  0 < a < 1. Entonces  la función logarítmica es monótona.

Asíntotas: Presenta una asíntota vertical en x = 0.

Intercepto: La curva corta al eje x en x = 1, pero no corta al eje y.

Asíntotas: La función logaritmo f(x) = Log(x) tienen una asíntota vertical en x = 0.